Inhaltsverzeichnis

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Einleitung
21
Teil I Grundlagen
23
1 Mengenweise Mengen
24
1.1 Testen Sie sich selbst
25
1.2 Mengen und Elemente
25
Vereinigungs- und Schnittmengen
27
Unter- und Obermengen
27
Vordefinierte Mengen
28
1.3 Entspannungsübungen
30
1.4 Lösungen
30
2 Gesetze der Algebra
32
2.1 Testen Sie sich selbst
33
2.2 Gesetze, die jeder kennt
34
Vertauschen (fast) nach Belieben
34
Das Verteilungsgesetz
36
Zig Prozent auf alles!
37
Zinsen bitte!
38
Die Minusklammer
38
Binomische Formeln
39
2.3 Brüche, gemischt und dezimal
40
Gemeine Brüche
40
Kürzen und erweitern
41
Rechnen mit Brüchen
42
Gemischte Brüche
44
Dezimalkommazahlen
45
2.4 Potenzen und Wurzeln
47
Die Potenzgesetze
47
Umkehren von Potenzen
49
Wurzeln und gebrochene Exponenten
49
2.5 Entspannungsübungen
51
2.6 Lösungen
52
3 (Un-)gleichungen
54
3.1 Testen Sie sich selbst
55
3.2 Einfache Gleichungen und Ungleichungen
56
Gleichungen umformen
56
Ungleichungen lösen
58
3.3 Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen
59
Die Wurzel ziehen
60
Quadratische Ergänzung
60
Bruchgleichungen
62
3.4 Gleichungssysteme
63
Lineare Gleichungssysteme
63
Das Gleichsetzungsverfahren
64
Das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
65
Das Einsetzungsverfahren
66
3.5 Sachaufgaben
67
Lösung mit System
67
3.6 Gleichungen lösen mit dem PC
69
Bühne frei für Sage
70
Gleichungen lösen mit Sage
70
3.7 Entspannungsübungen
73
3.8 Lösungen
74
4 Funktionen im kartesischen Koordinatensystem
82
4.1 Testen Sie sich selbst
83
4.2 Das Achsenkreuz
83
4.3 Lineare Funktionen
85
Graphen zeichnen
85
Plotten mit Sage
86
4.4 Parabeln
88
Die Normalparabel
88
Noch mehr Parabeln
90
Rechenspiele mit Parabeln
91
4.5 Wurzel- und andere Funktionen
93
Halbe Exponenten
93
Die (Halb-)Kreisfunktion
95
4.6 Entspannungsübungen
97
4.7 Lösungen
98
5 e und log
104
5.1 Testen Sie sich selbst!
105
5.2 Mehr, mehr, mehr!
105
Eulers Zahl
106
Weniger, aber niemals nichts
110
5.3 Logarithmen und ihre Regeln
111
Logarithmen zu verschiedenen Basen
111
5.4 Entspannungsübungen
115
5.5 Lösungen
116
6 Sinus und Cosinus
120
6.1 Testen Sie sich selbst
121
6.2 Rechtwinklige Dreiecke
122
Die drei Seiten
122
Pythagoreische Tripel
124
6.3 Der Einheitskreis
124
Das Eckige muss in das Runde
124
Unterwegs im Einheitskreis
125
Periodizität
129
Der Tangens
130
Formeln mit Sinus und Cosinus
131
6.4 Entspannungsübungen
133
6.5 Lösungen
134
7 Wo ist meine Einheit?
136
7.1 Testen Sie sich selbst
137
7.2 Hoch, weit, schwer
137
Ur-Maße
137
Maße und ihre Einheiten
139
7.3 Von piko bis Tera
141
Das geht doch genauer …
141
Das geht doch genauer … (Version für Computer, Roboter & Co.)
143
7.4 Wahnsinnig große (und kleine) Zahlen
143
Exponentialdarstellung mit Zehnerpotenzen
143
7.5 Runden, aber sinnvoll
144
Runden oder nicht runden, das ist hier die Frage
145
Symmetrisch runden
145
7.6 Entspannungsübungen
147
7.7 Lösungen
148
8 Flächen und Räume
150
8.1 Testen Sie sich selbst
151
8.2 Flächeninhalt und Umfang
151
Flächeninhalte berechnen
151
Flächenformeln zusammengefasst
152
Umfang berechnen
154
8.3 Volumen und Oberfläche
155
Volumeneinheiten
155
Volumina von Körpern
156
Oberflächen von Körpern
157
8.4 Entspannungsübungen
159
8.5 Lösungen
160
9 Vielleicht sechs Richtige
164
9.1 Testen Sie sich selbst
165
9.2 Statistik
166
Arithmetisches Mittel
166
Geometrisches Mittel
168
Median
169
Standardabweichung und Varianz
170
Normalverteilung
172
9.3 Wahrscheinlichkeit
174
Addition und Produkt
175
Laplace-Experimente
175
Würfel haben keine Erinnerung: Poisson-Verteilungen
176
Permutationen
178
9.4 Entspannungsübungen
181
9.5 Lösungen
181
10 Herrn Booles Algebra
184
10.1 Testen Sie sich selbst
185
10.2 Aussagenlogik
185
Und und oder nicht
185
Exklusives Oder
186
Rechengesetze der booleschen Algebra
187
10.3 Wie Computer rechnen
188
Digitale Zahlensysteme
189
10.4 Entspannungsübungen
192
10.5 Lösungen
192
11 Was zu beweisen ist
194
11.1 Mathematische Beweise
195
11.2 Vollständige Induktion
195
Das Induktionsprinzip
195
11.3 Indirekter Beweis
197
Beweis durch Widerspruch
198
11.4 Entspannungsübung
201
11.5 Lösungen
201
Teil II Analysis
205
12 Folgen und Grenzwerte
206
12.1 Zahlenfolgen
207
Zahlen, Zahlen und kein Ende
207
Rekursive Folgendefinitionen
208
Geometrische Folgen
209
12.2 Grenzwerte und Konvergenz
210
Wohin laufen sie denn?
210
Das Verhalten von Nullfolgen
211
Konvergenz
212
12.3 Entspannungsübungen
213
12.4 Lösungen
213
13 Reihen
216
13.1 Unendliche Summen
217
Partialsummen und Summenfolgen
217
Konvergente Reihen
218
13.2 Besondere Reihen
219
Die geometrische Reihe
219
Die harmonische Reihe
221
Noch mehr konvergente Reihen
222
13.3 Entspannungsübungen
223
13.4 Lösungen
223
14 Stetigkeit und Monotonie
224
14.1 Grenzwerte von Funktionen
225
Lückenfüller
226
Dreifolgensatz
228
Von Epsilon und Delta
229
Grenzwerte im Unendlichen
229
Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen
231
14.2 Stetige Funktionen
232
Definition der Stetigkeit
232
Sätze über stetige Funktionen
233
Monotonie
234
14.3 Entspannungsübungen
236
14.4 Lösungen
236
15 Funktionen ableiten
240
15.1 Umschalten auf wahnsinnige Geschwindigkeit!
241
Ort, Zeit, Tempo
241
Momentane Geschwindigkeit
244
15.2 Die Steigung der Tangenten
244
Klitzekleine Steigungsdreiecke
244
Differenzierbarkeit und Stetigkeit
246
Die erste Ableitung
246
15.3 Ableitungsregeln
248
Summenregel
249
Produktregel
249
Ableitung der Hyperbelfunktion
250
Kettenregel
251
Quotientenregel
252
Potenzregel und Polynome ableiten
253
15.4 Entspannungsübungen
255
15.5 Lösungen
255
16 Noch mehr Funktionen ableiten
256
16.1 Exponentialfunktion ableiten
257
Erste Ableitung von ex
257
Ableitung der Umkehrfunktion
258
Ableiten des Logarithmus
259
Ableiten von Potenzen mit reellem Exponenten
260
16.2 Trigonometrische Funktionen
261
Sinus und Cosinus
261
Ableitung des Tangens
262
16.3 Entspannungsübungen
265
16.4 Lösungen
265
17 Eigenschaften von Funktionen
268
17.1 Funktionengeometrie
269
Spiegelsymmetrie
269
Punktsymmetrie
270
Asymptotisches Verhalten
271
Extremstellen
274
Extremwertaufgaben
276
Sattel- und Wendepunkte
278
17.2 Königsdisziplin Kurvendiskussion
279
17.3 Funktionen à la carte
283
Selbstgestrickt
283
Zufall, selfmade
287
17.4 Entspannungsübungen
290
17.5 Lösungen
290
18 Integralrechnung
296
18.1 Das riemannsche Integral
297
Eine Frage der Fläche
297
Ober- und Untersummen
299
18.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
300
Das unbestimmte Integral
301
Stammfunktionen
302
Der Fundamentalsatz der Analysis
302
Potenzen und Polynome integrieren
304
Partielle Integration
305
Substitutionsregel
307
Uneigentliche Integrale
310
Integralkriterium
312
18.3 Anwendungen der Integration
313
Integrale in der Physik
313
Extremwertaufgaben mit Flächen
314
Integrieren mit Sage
317
18.4 Entspannungsübungen
318
18.5 Lösungen
319
19 Die Bewegungsgleichung
322
19.1 Kraft und Beschleunigung
323
Kraftlos
323
Konstante Kraft
324
Der Fall des Apfels
326
19.2 Die zweite Dimension
327
Nur einen Steinwurf entfernt
327
Die Wurfparabel
328
Der optimale Wurfwinkel
329
19.3 Entspannungsübungen
332
19.4 Lösungen
332
20 Die Differentialgleichung erster Ordnung
334
20.1 Wo Differentialgleichungen vorkommen
335
Strom, Spannung und Co.
335
Auf die Bremse treten
337
Tierpopulationen
338
20.2 Die Differentialgleichung erster Ordnung lösen
338
Allgemeine Lösung
338
Anfangsbedingungen und Randwerte
340
Inhomogene Differentialgleichung lösen
341
20.3 Entspannungsübungen
346
20.4 Lösungen
346
21 Das Pünktchen auf dem i
348
21.1 Die komplexen Zahlen
349
Schreibweisen
349
Rechenregeln
350
Der Fundamentalsatz der Algebra
351
Multiplikation komplexer Zahlen
351
Division komplexer Zahlen
352
21.2 Die komplexe Zahlenebene
353
Komplexe Zahlen in der gaußschen Ebene
353
Polarform
354
Multiplikation in Polarform
356
21.3 Die eulersche Formel
358
Immer im Kreis herum
358
Die eulersche Identität
359
21.4 Funktionen und Folgen mit komplexen Zahlen
360
Komplexe Funktionen ableiten
360
Die Mandelbrotmenge
360
21.5 Entspannungsübungen
362
21.6 Lösungen
363
22 Hin und wieder zurück
364
22.1 Der harmonische Oszillator
365
Nicht nur für Pendler
365
Der Schwingkreis
367
22.2 Differentialgleichung zweiter Ordnung
368
Lösung mit Eulers Formel
369
Lösung mit Sinus-Cosinus-Ansatz
371
Anfangs- und Randbedingungen
371
Differentialgleichung mit Dämpfung
372
22.3 Entspannungsübungen
376
22.4 Lösungen
376
23 Mantelflächen und Kurvenlängen integrieren
380
23.1 Kurvenlängen integrieren
381
Sehr kleine Hypotenusen
381
23.2 Mantelflächenintegrale
384
Rotationskörper
384
23.3 Entspannungsübungen
387
23.4 Lösungen
387
24 Nicht-kartesische Koordinatensysteme
390
24.1 Polarkoordinaten
391
Zweidimensionale Kreiskoordinaten
391
Umrechnung zwischen kartesischen und Polarkoordinaten
392
Infinitesimalrechnung in Polarkoordinaten
393
24.2 Dreidimensionale Koordinatensysteme
395
Zylinderkoordinaten
395
Kugelkoordinaten
396
24.3 Entspannungsübungen
399
24.4 Lösungen
399
Teil III Lineare Algebra
403
25 Vektorrechnung
404
25.1 Vektoren in der euklidischen Ebene
405
Schreibweisen
405
Eigenschaften von Vektoren
406
Vektoren addieren
407
Skalarmultiplikation
408
25.2 Die Basis
410
Lineare Unabhängigkeit
410
Einheitsvektoren und Basis
412
Vektorrechnung mit Sage
412
25.3 Entspannungsübungen
414
25.4 Lösungen
414
26 Lineare Gleichungssysteme
418
26.1 Das Gauß-Verfahren
419
Umformen gen Dreiecksform
419
Matrix-Schreibweise
421
Gleichungssysteme lösen mit Sage
422
26.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
422
Bedingungen für Lösbarkeit
422
Lösbarkeit homogener Gleichungssysteme
423
Die Determinante
424
Die Regel von Sarrus
426
Cramersche Regel
426
26.3 Entspannungsübungen
428
26.4 Lösungen
428
27 Willkommen in der Matrix
430
27.1 Lineare Abbildungen
431
Definition linearer Abbildungen
431
Eigenschaften linearer Abbildungen
432
Kern, Bild und Dimensionsformel
433
Praktische Anwendungen
434
27.2 Verknüpfung linearer Abbildungen
434
Summen von Matrizen
435
Vielfache von Matrizen
435
Matrizenmultiplikation
435
Die inverse Abbildung
437
Matrizenrechnung mit Sage
439
27.3 Entspannungsübungen
441
27.4 Lösungen
441
28 Eigenwerte, Determinanten und Co.
444
28.1 Matrizen unter der Lupe
445
Determinante und Invertierbarkeit
445
Basiswechselmatrix
446
28.2 Eigenwerte
448
Das Eigenwertproblem
448
Berechnung von Eigenwerten
449
Eigenräume
451
Diagonalisieren
451
28.3 Produkte
454
Skalarprodukt
454
Kreuzprodukt
456
28.4 Entspannungsübungen
459
28.5 Lösungen
460
29 Besondere Matrizen anwenden
464
29.1 Geometrische Transformationen
465
Orthonormalsysteme
465
Isometrien
465
Spiegelmatrizen
467
Drehmatrizen
467
Koordinatentransformation
468
29.2 Bildbearbeitung
470
Faltungsmatrizen
470
29.3 Entspannungsübungen
473
29.4 Lösungen
473
30 Mehrdimensionale Analysis
476
30.1 Abbildungen in mehr als einer Dimension
477
Vektoren und ihre Schreibweisen
477
Mehrdimensionale Funktionen
478
30.2 Differentialrechnung in ?n
480
Partielle Ableitungen
480
Der Gradient
481
Die Jacobimatrix
483
Jacobimatrix und Koordinatentransformation
484
30.3 Entspannungsübungen
486
30.4 Lösungen
486
31 Numerische Verfahren
488
31.1 Intervallschachtelung
489
Fortgesetzte Bisektion
489
Kontinuierlicher Fall
490
31.2 Interpolation
492
Polynominterpolation
493
Lagrangesche Interpolationsformel
494
31.3 Ausgleichsrechnung
496
Methode der kleinsten Quadrate
496
Beispiel: Erdbeschleunigung mit dem Handy messen
496
31.4 Numerische Integration
498
Trapezregel
499
Adaptive Integration mit Sage
500
31.5 Entspannungsübungen
502
31.6 Lösungen
503
32 Analytische Geometrie
506
32.1 Ein Universum voller Vektoren
507
Eine Gerade
507
Zwei Geraden
509
Ebenen
511
Normale
513
Hessesche Normalenform
515
Kugeln
517
32.2 Begegnungen im Nichts
519
Gerade trifft Ebene
519
Ebene trifft Ebene
521
Projektion und Spiegel
522
Der Kreis schließt sich
524
32.3 Entspannungsübungen
529
32.4 Lösungen
530
Formelsammlung
535
Literaturverzeichnis
538
Index
539