Inhaltsverzeichnis
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Einleitung
21
TEIL I Grundlagen
23
1 Mengenweise Mengen
24
1.1 Testen Sie sich selbst
25
1.2 Mengen und Elemente
25
Vereinigungs- und Schnittmengen
27
Unter- und Obermengen
27
Vordefinierte Mengen
28
1.3 Entspannungsübungen
30
1.4 Lösungen
30
2 Gesetze der Algebra
32
2.1 Testen Sie sich selbst
33
2.2 Gesetze, die jeder kennt
34
Vertauschen (fast) nach Belieben
34
Das Verteilungsgesetz
35
Zig Prozent auf alles!
37
Zinsen, bitte
37
Die Minusklammer
38
Binomische Formeln
39
2.3 Brüche, gemischt und dezimal
40
Gemeine Brüche
40
Kürzen und erweitern
40
Rechnen mit Brüchen
42
Gemischte Brüche
44
Dezimalkommazahlen
44
2.4 Potenzen und Wurzeln
47
Die Potenzgesetze
47
Umkehren von Potenzen
49
Wurzeln und gebrochene Exponenten
49
2.5 Entspannungsübungen
51
2.6 Lösungen
52
3 (Un-)gleichungen
56
3.1 Testen Sie sich selbst
57
3.2 Einfache Gleichungen und Ungleichungen
58
Gleichungen umformen
58
Ungleichungen lösen
60
3.3 Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen
61
Die Wurzel ziehen
62
Quadratische Ergänzung
62
Bruchgleichungen
64
3.4 Gleichungssysteme
65
Lineare Gleichungssysteme
65
Das Gleichsetzungsverfahren
65
Das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
67
Das Einsetzungsverfahren
67
3.5 Sachaufgaben
68
Lösung mit System
69
3.6 Gleichungen lösen mit dem PC
71
Bühne frei für Sage
71
Gleichungen lösen mit Sage
72
Gleichungen und mehr mit GeoGebra
74
3.7 Entspannungsübungen
76
3.8 Lösungen
77
4 Funktionen im kartesischen Koordinatensystem
86
4.1 Testen Sie sich selbst
87
4.2 Das Achsenkreuz
87
4.3 Lineare Funktionen
89
Graphen zeichnen
89
Plotten mit Sage
90
Funktionen plotten mit GeoGebra
91
4.4 Parabeln
92
Die Normalparabel
92
Noch mehr Parabeln
94
Rechenspiele mit Parabeln
95
4.5 Wurzel- und andere Funktionen
98
Halbe Exponenten
98
Die (Halb-)Kreisfunktion
99
4.6 Entspannungsübungen
101
4.7 Lösungen
102
5 e und log
110
5.1 Testen Sie sich selbst!
111
5.2 Mehr, mehr, mehr!
111
Eulers Zahl
112
Weniger, aber niemals nichts
116
5.3 Logarithmen und ihre Regeln
117
Logarithmen zu verschiedenen Basen
117
5.4 Entspannungsübungen
121
5.5 Lösungen
122
6 Sinus und Cosinus
128
6.1 Testen Sie sich selbst
129
6.2 Rechtwinklige Dreiecke
130
Die drei Seiten
130
Pythagoreische Tripel
132
Dreiecke in GeoGebra
132
6.3 Der Einheitskreis
134
Das Eckige muss in das Runde
134
Unterwegs im Einheitskreis
135
Periodizität
139
Der Tangens
140
Formeln mit Sinus und Cosinus
141
6.4 Entspannungsübungen
143
6.5 Lösungen
144
7 Wo ist meine Einheit?
148
7.1 Testen Sie sich selbst
149
7.2 Hoch, weit, schwer
149
Ur-Maße
149
Maße und ihre Einheiten
151
7.3 Von piko bis Tera
153
Das geht doch genauer …
153
Das geht doch genauer … (Version für Computer, Roboter & Co.)
155
7.4 Wahnsinnig große (und kleine) Zahlen
155
Exponentialdarstellung mit Zehnerpotenzen
155
7.5 Runden, aber sinnvoll
156
Runden oder nicht runden, das ist hier die Frage
157
Symmetrisch runden
157
7.6 Entspannungsübungen
159
7.7 Lösungen
160
8 Flächen und Räume
164
8.1 Testen Sie sich selbst
165
8.2 Flächeninhalt und Umfang
165
Flächeninhalte berechnen
165
Flächenformeln zusammengefasst
166
Umfang berechnen
168
8.3 Volumen und Oberfläche
169
Volumeneinheiten
169
Volumina von Körpern
170
Oberflächen von Körpern
171
8.4 Entspannungsübungen
173
8.5 Lösungen
174
9 Vielleicht sechs Richtige
178
9.1 Testen Sie sich selbst
179
9.2 Statistik
179
Arithmetisches Mittel
180
Geometrisches Mittel
182
Median
182
Standardabweichung und Varianz
183
Normalverteilung
186
9.3 Wahrscheinlichkeit
188
Addition und Produkt
188
Laplace-Experimente
189
Würfel haben keine Erinnerung: Poisson-Verteilungen
190
Permutationen
192
9.4 Entspannungsübungen
195
9.5 Lösungen
195
10 Herrn Booles Algebra
198
10.1 Testen Sie sich selbst
199
10.2 Aussagenlogik
199
Und und oder nicht
199
Exklusives Oder
200
Rechengesetze der booleschen Algebra
201
10.3 Wie Computer rechnen
202
Digitale Zahlensysteme
203
10.4 Entspannungsübungen
206
10.5 Lösungen
206
11 Was zu beweisen ist
208
11.1 Mathematische Beweise
209
11.2 Vollständige Induktion
209
Das Induktionsprinzip
209
11.3 Indirekter Beweis
211
Beweis durch Widerspruch
212
11.4 Entspannungsübung
215
11.5 Lösungen
215
TEIL II Analysis
219
12 Folgen und Grenzwerte
220
12.1 Zahlenfolgen
221
Zahlen, Zahlen und kein Ende
221
Rekursive Folgendefinitionen
222
Geometrische Folgen
223
12.2 Grenzwerte und Konvergenz
224
Wohin laufen sie denn?
224
Das Verhalten von Nullfolgen
225
Konvergenz
226
12.3 Entspannungsübungen
227
12.4 Lösungen
227
13 Reihen
230
13.1 Unendliche Summen
231
Partialsummen und Summenfolgen
231
Konvergente Reihen
232
13.2 Besondere Reihen
233
Die geometrische Reihe
233
Die harmonische Reihe
235
Noch mehr konvergente Reihen
236
13.3 Entspannungsübungen
237
13.4 Lösungen
237
14 Stetigkeit und Monotonie
238
14.1 Grenzwerte von Funktionen
239
Lückenfüller
240
Dreifolgensatz
242
Von Epsilon und Delta
243
Grenzwerte im Unendlichen
243
Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen
245
14.2 Stetige Funktionen
246
Definition der Stetigkeit
246
Sätze über stetige Funktionen
247
Monotonie
248
14.3 Entspannungsübungen
250
14.4 Lösungen
250
15 Funktionen ableiten
254
15.1 Umschalten auf wahnsinnige Geschwindigkeit!
255
Ort, Zeit, Tempo
255
Momentane Geschwindigkeit
257
15.2 Die Steigung der Tangenten
258
Klitzekleine Steigungsdreiecke
258
Differenzierbarkeit und Stetigkeit
260
Die erste Ableitung
260
15.3 Ableitungsregeln
262
Summenregel
263
Produktregel
263
Ableitung der Hyperbelfunktion
264
Kettenregel
265
Quotientenregel
266
Potenzregel und Polynome ableiten
267
15.4 Entspannungsübungen
269
15.5 Lösungen
270
16 Noch mehr Funktionen ableiten
274
16.1 Exponentialfunktion ableiten
275
Erste Ableitung von e^x
275
Ableitung der Umkehrfunktion
276
Ableiten des Logarithmus
277
Ableiten von Potenzen mit reellem Exponenten
278
16.2 Trigonometrische Funktionen
279
Sinus und Cosinus
279
Ableitung des Tangens
280
16.3 Entspannungsübungen
283
16.4 Lösungen
283
17 Eigenschaften von Funktionen
286
17.1 Funktionengeometrie
287
Spiegelsymmetrie
287
Punktsymmetrie
288
Asymptotisches Verhalten
289
Faustregeln für gebrochen rationale Funktionen
292
Extremstellen
293
Extremwertaufgaben
294
Sattel- und Wendepunkte
296
17.2 Königsdisziplin Kurvendiskussion
298
17.3 Funktionen à la carte
302
Selbstgestrickt
302
Zufall, selfmade
306
17.4 Entspannungsübungen
309
17.5 Lösungen
309
18 Integralrechnung
316
18.1 Das riemannsche Integral
317
Eine Frage der Fläche
317
Ober- und Untersummen
319
18.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
320
Das unbestimmte Integral
320
Stammfunktionen
321
Der Fundamentalsatz der Analysis
322
Potenzen und Polynome integrieren
324
Beispiel: Integration einer Fläche mit GeoGebra
325
Partielle Integration
326
Substitutionsregel
327
Uneigentliche Integrale
331
Integralkriterium
333
18.3 Anwendungen der Integration
334
Integrale in der Physik
334
Extremwertaufgaben mit Flächen
335
Integrieren mit Sage
337
18.4 Entspannungsübungen
339
18.5 Lösungen
340
19 Die Bewegungsgleichung
344
19.1 Kraft und Beschleunigung
345
Kraftlos
345
Konstante Kraft
346
Der Fall des Apfels
347
19.2 Die zweite Dimension
349
Nur einen Steinwurf entfernt
349
Die Wurfparabel
350
Der optimale Wurfwinkel
351
19.3 Entspannungsübungen
355
19.4 Lösungen
355
20 Die Differentialgleichung erster Ordnung
358
20.1 Wo Differentialgleichungen vorkommen
359
Strom, Spannung und Co.
359
Auf die Bremse treten
361
Tierpopulationen
361
20.2 Die Differentialgleichung erster Ordnung lösen
362
Allgemeine Lösung
362
Anfangsbedingungen und Randwerte
363
Inhomogene Differentialgleichung lösen
365
20.3 Entspannungsübungen
370
20.4 Lösungen
370
21 Das Pünktchen auf dem i
372
21.1 Die komplexen Zahlen
373
Schreibweisen
373
Rechenregeln
374
Der Fundamentalsatz der Algebra
375
Multiplikation komplexer Zahlen
375
Division komplexer Zahlen
376
21.2 Die komplexe Zahlenebene
377
Komplexe Zahlen in der gaußschen Ebene
377
Polarform
378
Multiplikation in Polarform
380
21.3 Die eulersche Formel
382
Immer im Kreis herum
382
Die eulersche Identität
383
21.4 Funktionen und Folgen mit komplexen Zahlen
384
Komplexe Funktionen ableiten
384
Die Mandelbrotmenge
384
21.5 Entspannungsübungen
386
21.6 Lösungen
387
22 Hin und wieder zurück
388
22.1 Der harmonische Oszillator
389
Nicht nur für Pendler
389
Der Schwingkreis
391
22.2 Differentialgleichung zweiter Ordnung
392
Lösung mit Eulers Formel
393
Lösung mit Sinus-Cosinus-Ansatz
395
Anfangs- und Randbedingungen
395
Differentialgleichung mit Dämpfung
396
22.3 Entspannungsübungen
400
22.4 Lösungen
400
23 Mantelflächen und Kurvenlängen integrieren
404
23.1 Kurvenlängen integrieren
405
Sehr kleine Hypotenusen
405
23.2 Mantelflächenintegrale
408
Rotationskörper
408
23.3 Entspannungsübungen
411
23.4 Lösungen
411
24 Nicht-kartesische Koordinatensysteme
414
24.1 Polarkoordinaten
415
Zweidimensionale Kreiskoordinaten
415
Umrechnung zwischen kartesischen und Polarkoordinaten
416
Polarkoordinaten mit GeoGebra
417
Infinitesimalrechnung in Polarkoordinaten
418
24.2 Dreidimensionale Koordinatensysteme
420
Zylinderkoordinaten
420
Kugelkoordinaten
421
24.3 Entspannungsübungen
424
24.4 Lösungen
424
TEIL III Lineare Algebra
427
25 Vektorrechnung
428
25.1 Vektoren in der euklidischen Ebene
429
Schreibweisen
429
Eigenschaften von Vektoren
430
Vektoren addieren
431
Skalarmultiplikation
432
Vektorrechnung mit GeoGebra
433
25.2 Die Basis
434
Lineare Unabhängigkeit
434
Einheitsvektoren und Basis
436
Vektorrechnung mit Sage
437
25.3 Entspannungsübungen
439
25.4 Lösungen
440
26 Lineare Gleichungssysteme
444
26.1 Das Gauß-Verfahren
445
Umformen gen Dreiecksform
445
Matrix-Schreibweise
447
Gleichungssysteme lösen mit Sage
447
26.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
448
Bedingungen für Lösbarkeit
448
Lösbarkeit homogener Gleichungssysteme
449
Die Determinante
449
Gleichungssysteme lösen mit GeoGebra
451
Die Regel von Sarrus
452
Cramersche Regel
453
26.3 Entspannungsübungen
455
26.4 Lösungen
455
27 Willkommen in der Matrix
458
27.1 Lineare Abbildungen
459
Definition linearer Abbildungen
459
Eigenschaften linearer Abbildungen
460
Kern, Bild und Dimensionsformel
461
Praktische Anwendungen
462
27.2 Verknüpfung linearer Abbildungen
462
Summen von Matrizen
463
Vielfache von Matrizen
463
Matrizenmultiplikation
463
Die inverse Abbildung
465
Matrizenrechnung mit Sage
467
Matrixoperationen mit GeoGebra
468
27.3 Entspannungsübungen
470
27.4 Lösungen
470
28 Eigenwerte, Determinanten und Co.
472
28.1 Matrizen unter der Lupe
473
Determinante und Invertierbarkeit
473
Basiswechselmatrix
474
Basiswechsel mit GeoGebra
475
28.2 Eigenwerte
476
Das Eigenwertproblem
476
Berechnung von Eigenwerten
477
Eigenräume
479
Diagonalisieren
480
28.3 Produkte
482
Skalarprodukt
483
Kreuzprodukt
485
28.4 Entspannungsübungen
487
28.5 Lösungen
488
29 Besondere Matrizen anwenden
492
29.1 Geometrische Transformationen
493
Orthonormalsysteme
493
Isometrien
493
Spiegelmatrizen
494
Drehmatrizen
495
Drehmatrix mit GeoGebra
496
Koordinatentransformation
497
29.2 Bildbearbeitung
498
Faltungsmatrizen
499
29.3 Entspannungsübungen
501
29.4 Lösungen
501
30 Mehrdimensionale Analysis
504
30.1 Abbildungen in mehr als einer Dimension
505
Vektoren und ihre Schreibweisen
505
Mehrdimensionale Funktionen
506
Mehrdimensionale Funktionen mit GeoGebra
507
30.2 Differentialrechnung in R^n
508
Partielle Ableitungen
509
Der Gradient
510
Die Jacobimatrix
511
Jacobimatrix und Koordinatentransformation
513
30.3 Entspannungsübungen
515
30.4 Lösungen
515
31 Numerische Verfahren
518
31.1 Intervallschachtelung
519
Fortgesetzte Bisektion
519
Kontinuierlicher Fall
520
31.2 Interpolation
522
Polynominterpolation
522
Lagrangesche Interpolationsformel
524
31.3 Ausgleichsrechnung
526
Methode der kleinsten Quadrate
526
Beispiel: Erdbeschleunigung mit dem Handy messen
526
31.4 Numerische Integration
528
Trapezregel
529
Adaptive Integration mit Sage
530
31.5 Entspannungsübungen
532
31.6 Lösungen
533
32 Analytische Geometrie
536
32.1 Ein Universum voller Vektoren
537
Eine Gerade
537
Zwei Geraden
539
Geraden analysieren mit GeoGebra
540
Ebenen
543
Normale
544
Hessesche Normalenform
546
Kugeln
548
32.2 Begegnungen im Nichts
550
Gerade trifft Ebene
550
Ebene trifft Ebene
553
Projektion und Spiegel
554
Der Kreis schließt sich
555
32.3 Entspannungsübungen
560
32.4 Lösungen
561
Anhang
566
Index
571