1 Einführung

15

1.1 Entwicklungsumgebungen

20

1.1.1 IDLE

21

1.1.2 Thonny

22

1.2 Die Installation der Module

23

1.3 Schlüsselwörter von Python

26

1.4 Maschinengenauigkeit, Rundungsfehler und Stellenauslöschung

28

1.4.1 Maschinengenauigkeit

29

1.4.2 Rundungsfehler

30

1.4.3 Stellenauslöschung

31

1.5 Algorithmenbegriffe

32

2 Datentypen und Datenstrukturen

35

2.1 Tupel

36

2.1.1 Exkurs: Elementare Datentypen von Python

38

2.1.2 Würfelsimulation

41

2.1.3 Vertauschen von Objekten

41

2.2 Sets

43

2.2.1 Mengenlehre

44

2.2.2 Vereinigungsmenge

44

2.2.3 Schnittmenge

44

2.2.4 Differenzmenge

45

2.3 Listen

47

2.4 Dictionary

52

2.5 Zusammenfassung

57

2.6 Aufgaben

58

3 Programmstrukturen

59

3.1 Mathematische Operatoren

60

3.2 Die lineare Programmstruktur

61

3.3 Verzweigungsstrukturen

64

3.3.1 Einfachauswahl

65

3.3.2 Mehrfachauswahl

66

3.4 Wiederholstrukturen

68

3.4.1 Die while-Schleife

68

3.4.2 Die for-Schleife

71

3.5 Unterprogrammtechnik mit Funktionen

79

3.5.1 Eingebaute Funktionen

80

3.5.2 Selbst erstellte Funktionen

81

3.5.3 Funktionen ohne Rückgabewert

82

3.5.4 Funktionen mit einem Rückgabewert

83

3.5.5 Funktionen mit mehreren Rückgabewerten

84

3.5.6 Rekursion: Eine Funktion ruft sich selbst auf

86

3.6 Laufzeitkomplexität

86

3.7 Aufgaben

89

4 Die Python-Erweiterungsmodule NumPy, Matplotlib, SymPy und SciPy

91

4.1 NumPy

92

4.1.1 Wichtige NumPy-Methoden

92

4.1.2 Wertetabellen für mathematische Funktionen erstellen

95

4.1.3 Die Datenstruktur von ndarray

96

4.1.4 Rechnen mit Matrizen

96

4.2 Matplotlib

100

4.2.1 Einfache 2D-Funktionsplots

102

4.2.2 Die objektorientierte API

104

4.3 SymPy

107

4.3.1 Symbolische Operationen mit Matrizen

108

4.3.2 Symbolisches Differenzieren und Integrieren

109

4.4 SciPy

110

4.4.1 Nullstellen berechnen

112

4.4.2 Numerisches Integrieren

113

4.5 Aufgaben

114

5 Zahlen

117

5.1 Natürliche Zahlen

121

5.1.1 Teilbarkeit

121

5.1.2 Der größte gemeinsame Teiler

127

5.1.3 Primzahlen

132

5.1.4 RSA-Verschlüsselung

144

5.2 Rationale Zahlen

152

5.3 Irrationale Zahlen

155

5.4 Transzendente Zahlen

160

5.4.1 Die Kreiszahl ?

160

5.4.2 Die eulersche Zahl e

168

5.5 Aufgaben

170

6 Gleichungssysteme

171

6.1 Lineare Gleichungssysteme

171

6.1.1 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems

172

6.1.2 Der Gauß-Algorithmus

176

6.1.3 Der Gauß-Jordan-Algorithmus

182

6.1.4 Lösung mit Determinanten: Die cramersche Regel

186

6.1.5 Lösung mit der Inversen einer Matrix

192

6.1.6 Lösung mit der NumPy-Methode solve()

195

6.1.7 Lösung mit SymPy-Methoden

196

6.2 Iterative Verfahren

201

6.2.1 Das Jacobi-Verfahren

202

6.2.2 Das Gauß-Seidel-Verfahren

207

6.2.3 Konvergenzverhalten

211

6.3 Nichtlineare Gleichungssysteme

213

6.3.1 Lösung mit SciPy

214

6.3.2 Lösung mit SymPy

215

6.4 Aufgaben

216

7 Folgen

219

7.1 Divergente Folgen

219

7.2 Differenzfolgen

223

7.3 Konvergente Folgen

225

7.4 Rekursive Folgen

229

7.5 Geometrische Folgen

230

7.6 Der Grenzwert von Folgen

234

7.6.1 Grenzwertdarstellung im Koordinatensystem

235

7.6.2 Symbolische Berechnung des Grenzwertes

237

7.7 Aufgaben

238

8 Stetige Funktionen

239

8.1 2D-Funktionsplots

240

8.1.1 Elementare Funktionstypen

240

8.1.2 Parabel

243

8.1.3 Exponentialfunktion

246

8.1.4 Sinusfunktion

247

8.2 3D-Funktionsplots

249

8.2.1 Paraboloid

249

8.2.2 Ellipsoid

252

8.3 Animationen

255

8.3.1 2D-Animationen

255

8.3.2 3D-Animationen

259

8.4 Aufgaben

262

9 Differenzialrechnung

263

9.1 Der Differenzenquotient

265

9.1.1 Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzenquotient

265

9.1.2 Der zentrale Differenzenquotient

267

9.2 Optimale Schrittweite

269

9.3 Simulation des Grenzwertprozesses

271

9.4 Tangenten- und Normalengleichung

274

9.4.1 Tangentengleichung

275

9.4.2 Normalengleichung

277

9.5 Höhere Ableitungen

280

9.6 Berechnung von Nullstellen mit dem Newton-Verfahren

282

9.6.1 Numerische Berechnung einer Nullstelle

283

9.6.2 Numerische Berechnung mehrerer Nullstellen

286

9.7 Kurvendiskussion

288

9.7.1 Statische Darstellung von Extremwerten und Wendepunkt

289

9.7.2 Kriterien für Extremstellen

291

9.7.3 Simulation der Tangentensteigung für ein Polynom 3. Grades

294

9.7.4 Kurvendiskussion mit SciPy

297

9.7.5 Kurvendiskussion mit SymPy

301

9.7.6 Umgekehrte Kurvendiskussion

303

9.8 Aufgaben

306

10 Reihen

307

10.1 Divergierende Reihen

308

10.1.1 Die Reihe der Quadratzahlen

308

10.1.2 Harmonische Reihe

311

10.2 Konvergente Reihen

313

10.2.1 Die eulersche Zahl e

314

10.2.2 Vergleich von Konvergenzgeschwindigkeiten

317

10.2.3 Konvergenzkriterien

319

10.3 Geometrische Reihen

322

10.4 Potenzreihen und die Taylor-Entwicklung

327

10.4.1 Potenzreihen

327

10.4.2 Taylor-Entwicklung

331

10.5 Aufgaben

336

11 Integralrechnung

337

11.1 Die Stammfunktion

337

11.2 Flächenberechnung

341

11.3 Verfahren der numerischen Integration

344

11.3.1 Rechtecksummen

344

11.3.2 Trapezsummen

348

11.3.3 Das Simpson-Verfahren

351

11.3.4 Vergleich der Verfahren

353

11.3.5 Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen

355

11.3.6 Uneigentliches Integral

358

11.4 Bogenlängen

360

11.5 Rotationskörper

364

11.6 Zweifachintegrale

370

11.6.1 Zweifachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen

370

11.6.2 Zweifachintegrale mit variablen Integrationsgrenzen

375

11.7 Aufgaben

377

12 Differenzialgleichungen

379

12.1 Das eulersche Polygonzug-Verfahren

380

12.2 Richtungsfelder

385

12.3 Differenzialgleichungen 1. Ordnung

387

12.3.1 Die konstante Wachstumsrate

387

12.3.2 Die konstante Wachstumsrate mit oberer Wachstumsschranke

390

12.3.3 Die logistische Wachstumsrate

392

12.4 Nichtlineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung

394

12.5 DGL-System für ein gekoppeltes Fadenpendel

399

12.6 DGL-System mit zwei Unbekannten

402

12.7 DGL-System mit drei Unbekannten

404

12.8 Optimierungen des Euler-Verfahrens

407

12.8.1 Das Heun-Verfahren

407

12.8.2 Das vierstufige Runge-Kutta-Verfahren

408

12.8.3 Vergleich der Verfahren

408

12.9 Lösung von Differenzialgleichungen mit SymPy

410

12.10 Aufgaben

414

13 Ausgleichsrechnungen

415

13.1 Lineare Ausgleichsprobleme

415

13.1.1 Lösung mit linearen Gleichungssystemen

416

13.1.2 Lösung mit dem Vektoransatz

422

13.1.3 Lösung mit dem erweiterten Vektoransatz

425

13.1.4 Anwendungsbeispiel: Bremsweg

428

13.1.5 Anwendungsbeispiel: Planetenbahn

431

13.2 Nichtlineare Ausgleichsprobleme

434

13.2.1 Exponentialfunktion

435

13.2.2 Potenzfunktion

437

13.3 Aufgaben

439

14 Algorithmen für die Berechnung statistischer Kennzahlen

441

14.1 Normalverteilte Zufallszahlen erzeugen

442

14.1.1 Histogramm

444

14.1.2 Normalverteilung

445

14.2 Lageparameter

446

14.2.1 Modus

446

14.2.2 Median

447

14.2.3 Arithmetischer Mittelwert

452

14.2.4 Harmonischer Mittelwert

453

14.2.5 Geometrischer Mittelwert

454

14.3 Streuparameter

456

14.3.1 Spannweite

456

14.3.2 Standardabweichung

458

14.4 Strukturparameter

460

14.4.1 Schiefe

460

14.4.2 Wölbung

463

14.5 Aufgaben

465

15 Fraktale

467

15.1 Turtle-Grafik

468

15.2 Die kochsche Schneeflocke

471

15.3 Das Sierpinski-Dreieck

476

15.4 Der Pythagoras-Baum

480

15.5 Mandelbrot- und Julia-Mengen

484

15.5.1 Mandelbrot-Menge

484

15.5.2 Julia-Menge

490

15.5.3 Farbige Darstellung von Julia-Mengen

493

15.6 Aufgaben

496

Anhang

497

A.1 Wichtige mathematische Begriffe und Sätze

497

A.2 Matplotlib-Eigenschaften

500

A.3 Literaturverzeichnis

502