1 Einleitung

13

1.1 Die Grenzen des klassischen Computers

13

1.2 Vom klassischen Computer zum Quantencomputer – Grundideen

15

1.2.1 Was ist ein Qubit?

15

1.2.2 Das Superpositionsprinzip

16

1.2.3 Verschränkung

17

1.2.4 Quantenüberlegenheit

18

1.3 Auswirkungen, Nutzen und Gefahren

18

1.4 Quanteninformatik und die Realität

20

1.5 Über dieses Buch

22

1.5.1 Ziele

23

1.5.2 Herangehensweise

24

1.5.3 Voraussetzungen

25

1.6 Qiskit – eine Entwicklungsumgebung für Quantencomputer

27

1.7 Plan-Check-Do-Act

28

1.8 Ausblick auf die Inhalte dieses Buchs

29

2 Mathematische Grundlagen

33

2.1 Formalismus

33

2.2 Grundlegende Notation

34

2.3 Komplexe Zahlen

36

2.4 Lineare Algebra

37

2.5 Die Dirac-Notation

46

2.5.1 Die Dirac-Notation in C

46

2.5.2 Die Dirac-Notation in Hilberträumen

47

2.5.3 Vereinfachungen der Notation

48

2.6 Wahrscheinlichkeitstheorie

48

2.7 Übungen

51

2.8 Bibliografische Hinweise

53

3 Wichtige Experimente der Quantenmechanik

55

3.1 Quantelung des Lichts

56

3.2 Das Doppelspaltexperiment

58

3.3 Das Stern-Gerlach-Experiment

62

4 Elementare Bausteine der Quantenmechanik

69

4.1 Quantensysteme und deren Präparation

70

4.2 Zustände in einem Quantensystem

71

4.2.1 Abstrakte Modellierung der Zustände eines Quantensystems

71

4.2.2 Qubits – die elementaren Bausteine der Quanteninformatik

73

4.3 Das Superpositionsprinzip

81

4.4 Veränderungen des Zustands

84

4.4.1 Natürliche Evolution in einem abgeschlossenen System

85

4.4.2 Beabsichtigte Manipulation des Zustands durch unitäre Abbildungen

88

4.4.3 Zwei wichtige Beispiele

91

4.4.4 Unbeabsichtigte Änderungen des Zustands

97

4.5 Messung

98

4.5.1 Die Observable – die Größe, für die man sich interessiert

99

4.5.2 Wie geht man bei einer Messung vor?

103

4.5.3 Welche mathematische Gestalt haben Messergebnisse?

104

4.5.4 Welche Messergebnisse sind zu erwarten?

109

4.5.5 Was passiert nach der Messung mit dem Zustand des Quantensystems?

119

4.5.6 Was sind die Ziele bei einer Messung in der Quanteninformatik?

126

4.6 Zusammengesetzte Quantensysteme

128

4.6.1 Das Tensorprodukt in allgemeiner Form

130

4.6.2 Das Tensorprodukt in einem konkreten Fall

133

4.6.3 Das Postulat zu zusammengesetzten Quantensystemen

137

4.6.4 Zwei-Qubit-Register – Zustand zweier zusammengesetzter Qubits

139

4.7 Zusammenfassung, Übungen und bibliografische Hinweise

142

4.7.1 Zusammenfassung

142

4.7.2 Übungen

143

4.7.3 Bibliografische Hinweise

146

5 Elementare Eigenarten der Quantenmechanik

147

5.1 Relative und globale Phasen

148

5.1.1 Globale Phasen

149

5.1.2 Relative Phasen

153

5.2 Die Unschärferelation – man kann nicht alles genau wissen

161

5.2.1 Unschärfe

162

5.2.2 (In-)Kompatibilität

165

5.2.3 Unschärferelation

166

5.3 Verschränkung – die »spukhafte« Fernwirkung

168

5.3.1 Ein kurzer Blick in die Historie

168

5.3.2 Von separablen und verschränkten Quantensystemen

170

5.4 Das No-Communication-Theorem

174

5.5 Das No-Cloning-Theorem: Kopieren verboten!

177

5.6 Dichte Quantenkodierung

179

5.7 Quantenteleportation

182

5.8 Zusammenfassung, Übungen und bibliografische Hinweise

185

5.8.1 Zusammenfassung

185

5.8.2 Übungen

186

5.8.3 Bibliografische Hinweise

187

6 (Multi-)Qubits

191

6.1 Qubits – die Bits der Quanteninformatik

192

6.1.1 Definition von Qubits

192

6.1.2 Die Bedeutung der Superposition

193

6.1.3 Auslesen eines Qubits

195

6.1.4 Die Bloch-Darstellung zur Visualisierung von Qubits

196

6.1.5 Beispiele zur Bloch-Darstellung

199

6.1.6 Die geometrische Bedeutung der Parameter Theta und Beta

202

6.2 Multi-Qubits

204

6.2.1 Die Definition von Multi-Qubits

204

6.2.2 Die Rechenbasis

205

6.2.3 Der Zustand eines Multi-Qubits

208

6.2.4 Messungen bei Multi-Qubits

209

6.3 Tensorprodukt vs. Skalarprodukt

211

6.4 Zusammenfassung, Übungen und bibliografische Hinweise

212

6.4.1 Zusammenfassung

212

6.4.2 Übungen

213

6.4.3 Bibliografische Hinweise

213

7 Gatter

215

7.1 Die allgemeine Definition von Gattern

215

7.2 Ein-Qubit-Gatter

216

7.3 Ein-Qubit-Gatter und die Bloch-Darstellung

217

7.3.1 Die Exponentiale der Pauli-Matrizen

218

7.3.2 Rotation um die Z-Achse in der Bloch-Darstellung

220

7.3.3 Rotation um die X-, Y und die Z-Achse

222

7.3.4 Rotation um eine beliebige Achse in der Bloch-Darstellung

223

7.3.5 Beliebige Gatter in der Bloch-Darstellung

226

7.4 Zwei-Qubit-Gatter

228

7.4.1 Kontrollierte Operationen

228

7.4.2 Swap-Gatter

234

7.5 Drei-Qubit-Gatter

235

7.6 Universalgatter

236

7.6.1 Darstellung via zweistufiger, unitärer Matrizen

237

7.6.2 Darstellung via Drehungen und CNOT

237

7.6.3 Darstellung via Hadamard-Gatter, Phasenmatrix und CNOT

239

7.6.4 Darstellung via CCNOT-Gatter

240

7.6.5 Der Aufwand dieser Darstellungen

240

7.7 Orakel-Gatter

241

7.8 Gatter als Operatoren in Qiskit

244

7.8.1 Definition eines gewünschten Operators

244

7.8.2 Anwendung von Operatoren

246

7.9 Zusammenfassung, Übungen und bibliografische Hinweise

247

7.9.1 Zusammenfassung

247

7.9.2 Übungen

248

7.9.3 Bibliografische Hinweise

248

8 Quantenschaltkreise

249

8.1 Definition des Quantenschaltkreismodells

249

8.2 Visuelle Darstellung von Quantenschaltkreisen

250

8.3 Eine Auswahl an Gattern in Qiskit

254

8.4 Komplexität

257

8.5 Quantenfehlerkorrektur

257

8.6 Zusammenfassung, Übungen und bibliografische Hinweise

259

8.6.1 Zusammenfassung

259

8.6.2 Übungen

260

8.6.3 Bibliografische Hinweise

260

9 Der Deutsch-Jozsa-Algorithmus

263

9.1 Hintergründe und Motivation des Deutsch-Jozsa-Algorithmus

263

9.1.1 Das Deutsch-Jozsa-Problem mittels eines klassischen Computers lösen

264

9.1.2 Ein erstes Mal Quantenüberlegenheit

264

9.2 Vorbereitung

265

9.2.1 Phasenorakel

265

9.2.2 Hadamard-Gatter auf Multi-Qubits

267

9.3 Den Deutsch-Jozsa-Algorithmus verstehen

269

9.3.1 Korrektheit des Algorithmus prüfen

270

9.4 Implementierung des Algorithmus in Qiskit

271

9.5 Der Bernstein-Vazirani-Algorithmus

275

9.6 Übungen und bibliografische Hinweise

278

9.6.1 Übungen

278

9.6.2 Bibliografische Hinweise

278

10 Der Simon-Algorithmus

279

10.1 Hintergründe und Motivation des Simon-Algorithmus

279

10.1.1 Das Simon-Problem auf einem klassischen Computer lösen

280

10.1.2 Das erste Mal nützliche Quantenüberlegenheit

281

10.2 Vorbereitung

282

10.2.1 Vorbereitung der Vorbereitung

282

10.2.2 Modulararithmetik

283

10.2.3 Lineare Gleichungssysteme

286

10.3 Den Simon-Algorithmus verstehen

288

10.3.1 Korrektheit des Algorithmus

289

10.4 Implementierung des Algorithmus in Qiskit

294

10.5 Bibliografische Hinweise

297

11 Der Grover-Algorithmus

299

11.1 Hintergründe und Motivation des Grover-Algorithmus

299

11.1.1 Unsortierte Suche auf einem klassischen Computer

300

11.1.2 Quantenüberlegenheit

300

11.1.3 Einordnung

301

11.2 Vorbereitung

302

11.2.1 Das Phasenorakel für f_omega

302

11.2.2 Das Grover-Diffusions-Orakel

303

11.3 Den Grover-Algorithmus verstehen

303

11.3.1 Geometrische Beschreibung des Algorithmus

304

11.3.2 Konkrete Beschreibung des Algorithmus

307

11.3.3 Korrektheit des Algorithmus

307

11.3.4 Verallgemeinerungen des Grover-Algorithmus

309

11.4 Implementierung des Algorithmus in Qiskit

310

11.5 Der BHT-Algorithmus

312

11.6 Übungen und bibliografische Hinweise

315

11.6.1 Übungen

315

11.6.2 Bibliografische Hinweise

316

12 Der Shor-Algorithmus

317

12.1 Hintergründe und Motivation des Shor-Algorithmus

317

12.2 Vorbereitung

319

12.2.1 Reduktion zur Periodenfindung

319

12.2.2 Die Quanten-Fouriertransformation

323

12.2.3 Modulare Exponentiation

331

12.3 Den Shor-Algorithmus verstehen

332

12.3.1 Beschreibung des Algorithmus

332

12.3.2 Korrektheit des Algorithmus

333

12.3.3 Komplexität des Algorithmus

335

12.4 Implementierung des Algorithmus in Qiskit

336

12.4.1 Ideen für die Umsetzung von Schritt (3)

337

12.4.2 Die Messung in Schritt (5)

339

12.4.3 Extraktion der Periode

340

12.5 Übungen und bibliografische Hinweise

341

12.5.1 Übungen

341

12.5.2 Bibliografische Hinweise

342

13 Auswirkungen auf die Kryptografie

345

13.1 Ein sehr kurzer Einblick in die Kryptografie

345

13.2 Auswirkungen auf die symmetrische Kryptografie

348

13.3 Auswirkungen auf die asymmetrische Kryptografie

350

13.4 Post-Quanten-Kryptografie

352

13.5 Quantenkryptografie

355